Transitividad

La Propiedad de transitividad de los números reales, nos indica que si un primer número tiene una relación con un segundo número, y que este segundo número tiene una relación con un tercero, entonces se puede deducir que el primero también tiene una relación con el tercero.

La transitividad es una de las propiedades más importantes de los números reales.

En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La transitividad de la igualdad y la transitividad de la desigualdad.

De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo número, son equivalentes entre sí.

Transitividad de igualdad

Si $a$, $b$ y $c$  son tres números reales y

$a=b$$b=c$ entonces $a=c$

La transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a las desigualdades: mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual.

Transitividad de la desigualdad

Si $a$$b$$c$ son tres números reales y

  • Si $a<b$$b<c$, entonces $a<c$
  • Si $a \leq b$ $b \leq c$, entonces $a \leq c$
  • Si $a>b$$b>c$, entonces $a>c$
  • Si $a \geq b$ $b \geq c$, entonces $a \geq c$
Ejemplo 1. Transitividad en la vida real
  • Si tu eres mas alto que yo, y tu hermano es más alto que tú, puedo decir que tu hermano es más alto que yo.
  • Si 10 euros son más dinero que 5 euros, y 5 euros son más dinero que 1 euro, entonces 10 euros seguro que son más dinero que 1 euro.

Pueden existir casos, cuando el desarrollo de argumentos por medio de las leyes de la transitividad pueden resultar erróneos. Tales interpretaciones pueden ser consideradas como la aplicación destartalada de la propiedad de la transitividad.

Ejemplo 2. Error en leyes de transitividad
  • En el futbol soccer, si el equipo A le ha ganado al equipo B, y el equipo B le ha ganado al equipo C, no necesariamente debe cumplirse que el equipo A le gane al equipo B.
  • Si A es amigo de B y B amigo es amigo de C no es esencial que A sea amigo de C

Por lo tanto, se necesita ser atentos al intentar formular argumentos con la ayuda de la propiedad de la transitividad.

La propiedad de la transitividad tiene algunas subpropiedades, las cuales incluyen:

Propiedades de la transitividad
  • La Inversa de cualquier relación transitiva es también transitiva.
  • La intersección de dos o más relaciones transitivas también es transitiva.
  • Sin embargo, la unión de dos relaciones transitivas es veto transitiva, es decir, no es transitiva.
  • Del mismo modo, la negación de cualquier relación transitiva podría no ser necesariamente transitiva.

Ingenierías: 

¿Donde puedo comprobar que esto es cierto?: 

*Dennis G. Zill y Warren S. Wright, "Matemáticas 1 - Cálculo diferencial", Mc Graw Hill Interamericana Editores