Densidad

Entre cualesquiera dos números reales diferentes $a$ y $b$, no importa qué tan cercanos se encuentren, existe otro número real entre ellos. En particular, el número $x_{1}= (a+b)/2$ es un número real que está a la mitad entre $a$$b$. Ya que existe otro número real, $x_{2}$, entre $a$ y $x_{1}$, y otro número real, $x_{3}$, entre $x_{1}$$x_{2}$, y puesto que este argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un número infinito de números reales entre $a$ y $b$. Por lo tanto, no existe tal cosa como "el número real, mayor que 3".

Densidad
El conjunto de los números reales es un conjunto denso, puesto que se compone de una cantidad infinita de elementos y entre dos elementos cualesquiera, siempre hay un infinito de números más.

En realidad podemos decir más. Entre cualesquiera dos números reales distintos existe tanto un número racional como uno irracional. De aquí que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cada uno de ellos (racionales e irracionales).

Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos expuesto es declarar que los números racionales y los números irracionales son densos en la recta real. Todo número tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos a él.

Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier número irracional puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un número racional; de hecho, por medio de un número racional con una representación decimal finita. Tome como ejemplo $\sqrt{2}$. La sucesión de números racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213,... avanza constante e inexorablemente hacia $\sqrt{2}$. Avanzando lo suficiente en esta sucesión, podemos estar tan cerca como queramos de $\sqrt{2}$.

Ingenierías: 

¿Donde puedo comprobar que esto es cierto?: 

*Larson, Hostetler y Edwards, "Cálculo diferencial - Matemáticas 1", Mc Graw Hill Interamericana Editores