Axioma del supremo

Ínfimo y Supremo

Para presentar un ultimo axioma de los números reales presentamos las siguientes definiciones.

Definición de cota superior y cota inferior

Sea $A \subset \mathbb{R}$ entonces

  1. Si existe $x \in \mathbb{R}$ tal que $a < x$ para todo $a \in A$, entonces $x$ se llama una cota superior de $A$ y que el conjunto $A$ está acotado por arriba.
  2. Si existe $x \in \mathbb{R}$ tal que $x < a$ para todo $a \in A$, entonces $x$ se llama una cota inferior de $A$ y que el conjunto $A$ está acotado por abajo.

El ínfimo y el supremo de un conjunto cuando existen son únicos.

Definición de supremo de un conjunto

Sea $A \subset \mathbb{R}$ acotado por arriba y supongamos que existe $x \in\mathbb{R}$ que satisface las siguientes dos condiciones:

  1. $x$ es una cota superior de $A$.
  2. Si $y \in\mathbb{R}$ es una cota superior de $A$ entonces $x \leq y$.

Entonces $x$ se dice llamar el supremo de $A$, y tiene la propiedad de ser "la menor cota superior".

Definición de ínfimo de un conjunto

Sea $A \subset \mathbb{R}$ acotado por abajo y supongamos que existe $x \in\mathbb{R}$ que satisface las siguientes dos condiciones:

  1. $x$ es una cota inferior de $A$.
  2. Si $y \in\mathbb{R}$ es una cota inferior de $A$ entonces $y \leq x$.

Entonces $x$ se dice llamar el ínfimo de $A$, y tiene la propiedad de ser "la mayor cota inferior".

Ahora sí, estamos en condiciones de enunciar un último axioma de los números reales, conocido como el axioma de complitud o de complitud

Axioma de complitud
  1. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por arriba tiene un supremo.
  2. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por abajo tiene un ínfimo.
Ejemplo 1. Ínfimo y supremo

Determine si existen el ínfimo y el supremo en el conjunto $A = \{-1, 3, 5, -7, 0\}$ formado por los cinco números que están entre llaves.

Las cotas superiores son todos los números mayores o iguales que 5 (que es el mayor de los números del conjunto). El supremo será la cota superior más pequeña, o sea, el 5.

Las cotas inferiores son todos los números menores o iguales que -7 (que es el menor de los números del conjunto). El ínfimo será la cota inferior más grande, o sea, el -7.

Ingenierías: 

¿Donde puedo comprobar que esto es cierto?: 

*Deniss G. Zill y Warren S. Wright, "Matematicas 1 - Cálculo diferencial", Mc Graw Hill Interamericana Editores