Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales

Funciones trascendentes

Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye la trigonométrica, la trigonomètrica inversa, exponencial y logarítmica, además comprende un buen número de otras funciones que nunca han recibido nombre.

Ejemplo 1 - Funciones trascendentes

Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos de funciones trascendentes

$f(x)=5^{x}$ , es una función exponencial (La $x$ es la exponente).

$g(x)=x^{5}0$ , es una función potencia (la $x$ es la base$. Podrìa considerar un polinomio de grado 5.

$h(x)=\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ , es una función algebraica.

$u(t)=1-t+5t^{4}$ , es un polinomio de grado 4.

Funciones trigonométricas

En el cálculo la covención es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la función $f(x)=\sin x$, se supone que $\sin x$ significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es $x$. Por consiguiente, las gráficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1.

Figura 1 - Funciones seno y coseno

Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio es $(-\infty, \infty)$ y el alcance es el intervalo $[-1,1]$. En estos términos, para todos los valores de $x$, se tiene

$-1\leq \sin x \leq1$

$-1 \leq \cos x \leq 1$

o, en términos de valores absolutos,

$|\sin x| \leq 1$

$|\cos x| \leq 1$

Además, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos enteros de $\pi$; es decir, $\sin x=0$ donde $x=n\pi$ y $n$ es un número positivo.

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y tienen periodos $2\pi$. Esto significa que para todas las funciones de $x$

$\sin (x+2\pi)=\sin x$

$\cos (x+2\pi)=\cos x$

La naturaleza periódica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las mareas, los resortes vibratorios y las ondas sonoras. 

La función tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuación

$\tan x= \frac{\sin x}{\cos x}$



Figura 2 - Función tangente

y su gráfica se muestra en la figura 2. Es indefinida siempre que $\cos x=0$, es decir, cuando $x=\pm \pi/2, \pm 3\pi/2, ...$. Su intervalo es $(-\infty, \infty)$. Observe que la función tangente tiene períodos $\pi$.

$\tan(x+\pi)=\tan x$ para toda $x$

Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente.

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son las funciones de la forma $f(x)=a^{x}$, donde la base $a$ es una constante positiva. En la figura 3 se muestran gráficas de $y=2^{x}$ y $y=(0.5)^{x}$. En ambos casos el dominio es $(-\infty, \infty)$ y $(0, \infty)$ es el intervalo.

Figura 3 - Función exponencial

La función $f(x)=2^{x}$ se denomina función exponencial porque la variable, $x$, es el exponente. No debe confundirse con la función potencia $g(x)=x^{2}$ en la cual la variable es la base.

En general, una función exponencial es una función de la forma

$f(x)=a^{x}$

donde $x$ es una constante positiva. Cabe recordar qué significa esto.

Si $x=n$, un número positivo, entonces

$a^{n}=\underset{n factores}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots\cdot a}}$

Si $x=0$, en tal caso $a^{0}=1$, y si $x=-n$ donde $n$ es un entero positivo entonces

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

si $x$ es un número racional, $x=p/q$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos y $q>0$, por lo tanto

$a^{x}=a^{p/q}=(\sqrt[q]{a})^{p}$

Ingenierías: 

¿Donde puedo comprobar que esto es cierto?: 

Roland E. Larson, "Cálculo y geometría analítica", Mc Graw Hill