Funciones algebraicas: función polinomial, racional y radical

La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII. Mención especial merece Leonhard Euler, a quien debemos la notación $y=f(x)$. Hacia el final del siglo XVIII, los matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que un gran número de fenómenos de la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Las funciones elementales se distribuyen en tres categorías.

  1. Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales).
  2. Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.).
  3. Funciones exponenciales y logarítmicas.
Dato Historico - Leonhard Euler (1707-1783)
Además de sus contribuciones esenciales a casi todas las ramas de las Matemáticas, Euler fue uno de los primeros en aplicar el Cálculo a problemas reales de la Física. Sus numerosas publicaciones incluyen materias como construcción de barcos, Acústica, Óptica, Astronomía, Mecánica y Magnetismo.

Funciones algebraicas

Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación y sacar raices) se le llama función alebraica. Cualquier función racional es una función algebraica. 

Ejemplo 1- Funciones algebraicas 

$f(x)= \sqrt{x^{2}+1}$

$g(x)= \frac{x^{4}-16x^{2}}{x+\sqrt{x}}+(x-2)\sqrt[3]{x+1}$

Cuando trace funciones algebraicas, verá que sus gráficas adoptan diversas formas. La figura 1 ilustra algunas de las posibilidades

Figura 1 - Gráficas algebraicas

En la teoría de la relatividad surge un ejemplo de funciones algebraicas. La masa de una particula con velocidad $v$, es

$m=f(v)=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$

donde $m_{0}$ es la masa en reposo de la particula y $c=3.0 \times 10^{5}$ km/s es la rapidez de la luz en el vacío.

Función polinomial

Definición de función polinomial

A una función P se le llama polinomio si

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

donde $n$ es un entero no negativo y los números $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}$ son constantes que se conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es $\mathbb{R}=(\infty, \infty )$. Si el coeficiente principal $a_{n} \neq 0$, entoncesel grado del polinomio es $n$.

Por ejemplo, la función 

$P(x)=2x^{6}-x^{4}+\frac{2}{5}x^{3}+\sqrt{2}$

es un polinomio de grado 6.

Un polinomio de grado 1 tiene la forma $P(x)=mx+b$ y de este modo es una función lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma $P(x)=ax^{2}+bx+c$ se le llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola $y=ax^{2}$. La parábola se abre hacia arriba si $a>0$ y hacia abajo $a<0$.

Figura 2 - Las gráficas de funciones cuadráticas son parábolas

Un polinomio de grado 3 tiene la forma

$P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ con $a \neq 0$

y se le da el nombre de función cúbica. La figura 3 muestra la gráfica de una función cúbica en la parte (a) y graficas de polinomios de grados 4 y 5 en las partes (b) y (c).

Figura 3 - Funciones de grado 3, 4 y 5

Función racional

Definición de función racional

Una función racional $f$ es una razón de dos polinomios:

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

donde $P$ y $Q$ son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de $x$ tal que $Q(x) \neq 0$.

Figura 4 - Función recíproca

Un ejemplo sencillo de una función racional es la función $f(x)=1/x$, cuyo dominio es $\left\{ x \neq 0 \right\}$; esto es la función recíproca que se dibuja en la figura 4.La función

$f(x)=\frac{2x^{4}-x^{2}+1}{x^{2}-4}$

es una función racional con dominio \left{ x|x \neq \pm 2  \right}$. La figura 5 ilustra su gráfica.

Figura 5 - Función racional

Función radical

La función $f(x)=x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$ es una función raíz. Para $n=2$ es la función raíz cuadrada $f(x)=\sqrt{x}$, cuyo dominio es [$0, \infty$} y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola $x=y^{2}$. Para otros valores pares de $n$, la grafica de $y=\sqrt[n]{x}$ es similar a la de $y=\sqrt{x}$. Para $n=3$ tenemos la función raíz cúbica $f(x)=\sqrt[3]{x}$ cuyo dominio es $\mathbb{R}$ (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la figura 6(b). La gráfica de $y=\sqrt[n]{x}$ para $n$ impar ($n>3$) es similar a la de $y=\sqrt[3]{x}$.

Figura 6 - Gráficas de funciones raices

Ingenierías: 

¿Donde puedo comprobar que esto es cierto?: 

Roland E. Larson, "Cálculo y geometría analítica", Mc Graw Hill