Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Definición inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Inyectiva: significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A"). $f$ "es "uno a uno" o inyectiva si para cada $x_{1}$ y $x_{2}"$ en $X$ se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

  • $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}$
  • $x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

Suprayectiva: significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). $f$ es sobre o suprayectiva si satisface cualquiera de las siguientes condiciones:

  • Para cada $y$ en $Y$ existe $x$ en $X$ tal que $f(x)=y$
  • $Y= \Re _{f}$

Biyectiva: significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 1- Función biyectiva

Considérese la función $f:[0, \infty ] \rightarrow [0, \infty ]$ definida como $f(x)= \sqrt{x}$

Solución

  1. $f$ es "uno a uno" porque , para cada $x_{1}$ y $x_{2}$ en $[0, \infty ]$ se cumple que $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow \sqrt{x_{1}} = \sqrt{x_{2}} \Rightarrow (\sqrt{x_{1}})^{2}=(\sqrt{x_{2}})^{2}$
  2. $f$ es sobre porque $\Re_{f}=[0, \infty]$.
  3. $f$ es biyectiva porque es "uno a uno" y sobre.

Ingenierías: 

¿Donde puedo comprobar que esto es cierto?: 

René Benítez, "Cálculo diferencial para ciencias básicas e ingeniería", Editorial Trillas