Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una función

La definición de estos conceptos varía un poco de una fuente de información a otra, por eso optamos por presentar definiciones según diferente bibliografía.

Variable

Definición de variable (Enciclopedia Hispánica)
Notación simbólica que representa indistintivamente a cada uno de los números de un conjunto numéricos. Los números se denominan valores de la variable, y el conjunto, campo de variabilidad. La variable puede ser natural, entera racional, real y compleja, según la naturaleza del campo de variabilidad.
Definición de variable ("Diccionario Especializado de matemáticas", Grupo Editorial Norma)
Cantidad que se suele denotar por una letra en las ecuaciones algebraicas y que puede tomar un valor cualquiera dentro de un intervalo de valores posibles. 

Pueden efectuarse cálculos sobre variables porque hay ciertas reglas que se aplican a todos los posibles valores. Por ejemplo, para efectuar la operación de elevar al cuadrado todos los enteros entre 0 y 10, se puede escribir una igualdad en función de una variable entera $n : y = n^{2}$ con la condición de que $n$ esté entre 0 y 10 (0<$n$<10). $y$ se dice variable dependiente porque su valor depende del valor de $n$ que se tome , o sea que sólo puede tener los valores 1, 4, 9, ... etc. Una variable independiente no guarda tal relación con otra variable. Por ejemplo, si una variable $x$ denota el número de estudiantes de una escuela y otra, $y$, denota la proporción del total de estudiantes que desean almorzar en la escuela, entonces $x$ y $y$ son variables independientes y una variación en una de ellas no afecta a la otra. Sin embargo, su producto $xy$ afectará a una tercera cantidad -el número de almuerzos pedidos. Las variables también pueden denotar cantidades diferentes a los números de la aritmetica corriente, por ejemplo, variables vectoriales y variables matriciales.

Función

Definición de función ("Cálculo de una variable", James Stewart)
Una función $f$ es una regla que asigna a cada elemento $x$ de un conjunto $D$ exactamente un elemento, llamado $f(x)$, de un conjunto E.
Definición de función ("Diccionario Especializado de matemáticas", Grupo Editorial Norma)
Todo proceso definido que relaciona un número, cantidad, etc., con uno u otros más. Una función se puede considerar como una relación entre los elementos de un conjunto (la imagen) y los de otro conjunto (el dominio).

En álgebra, una función de una variable $x$ se suele escribir $f(x)$. Si hay dos cantidades $x$ y $y$ relacionadas por la ecuación $y = x^{2}+2$, por ejemplo, entonces $y$ es función de $x$ o sea que $y=f(x)=x^{2}+2$. Tal función significa "elevar el número al cuadrado y sumarle 2". $x$ es la variable independiente y $y$ la variable dependiente.

Figura 1-Función como máquina

Dominio (Lo que puede entrar en una función)

Resulta útil concebir una función como una máquina (véase la figura 1). Si $x$ está en el dominio de la función $f$, por lo tanto  cuando $x$ entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina produce una salida $f(x)$ de acuerdo con la regla de la función. De este modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el intervalo o codominio como el conjunto de todas las salidas posibles.

Definición de dominio ("Diccionario Especializado de matemáticas", Grupo Editorial Norma)
Conjunto de números o cantidades sobre las cuales se efectúa o puede efectuarse una aplicación. En álgebra, el dominio de una función $f(x)$ es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente $x$. Si, por ejemplo, $f(x)$ representa la raiz cuadrada de $x$, entonces el dominio se define como todos los números racionales positivos.
Ejemplo 1- Valores, dominio y codominio de funciones

Figura 2

En la figura 2 se muestra la gráfica de una función $f$.

  1. Encuentre los valores de $f(1)$ y $f(5)$
  2. ¿Cuáles son el dominio y el codominio de $f$?

Solución

  1. En la figura 2 se ve que el punto (1,3) se encuentra sobre la gráfica de $f$, de modo que el valor de $f$ en 1 es $f(1)=3$. (En totras palabras, el putno de la gráfica que se encuentra arriba de $x=1$ está a tres unidades arriba del eje $x$). Cuando $x=5$, la gráfica se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x, por tanto, $f(5) \approx -0.7$
  2. $f(x)$ está definida cuando $0 \leq x \leq 7$, de modo que el dominio de $f$ es el intervalo cerrado $[0,7]$. Observe que $f$ toma todos los valores desde -2 hasta 4, de manera que el codominio de $f$ es $\left\{ y|-2 \leq y \leq 4 \right\} =[-2,4]$

Codominio o intervalo (Lo que es posible que salga de una función)

El codominio también denominado conjunto final, conjunto de llegada o intervalo). Codominio es el conjunto de números que podrían ser solución de la función de un número del dominio, sin embargo no todos los números del codominio son resultados de una función dada.

Definición de codominio o intervalo ("Cálculo de una variable", James Stewart)
El intervalo de $f$ es el conjunto de todos los valores posibles de $f(x)$, conforme $x$ varía en todo el dominio.
Ejemplo 2- Diferencia entre codominio e imagen
Para una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida para $f:x \mapsto x^{2}$, o equivalente a $f(x)= x^{2}$, el codominio o intervalo de $f$ es $\mathbb{R}$, pero $f(x)$ siempre toma un valor positivo. Por lo tanto, la imagen de $f$ es el conjunto $\mathbb{R}_{0}^{+}$; por ejemplo el intervalo $[0, \infty)$.

Recorrido, conjunto imagen o rango (Lo que realmente sale de una función)

Definición de rango o recorrido
Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable $y$ o $f(x)$.

Ingenierías: 

¿Donde puedo comprobar que esto es cierto?: 

Roland Larson, "Cálculo y geometría analítica", Mc Graw Hill